Rezolvați 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 53, b cu 5 și c cu -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} și x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} este pozitiv și x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} este negativ.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} este pozitiv și x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} este negativ.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$