Rezolvați 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Descompunere în factori

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 52z^{2}+az+bz+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Soluția este perechea care dă suma de -43.

$$a=-39 b=-4$$

Rescrieți 52z^{2}-43z+3 ca \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Factor 13z în primul și -1 în al doilea grup.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Scoateți termenul comun 4z-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Ridicați -43 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Înmulțiți -4 cu 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Înmulțiți -208 cu 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Adunați 1849 cu -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

Opusul lui -43 este 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Înmulțiți 2 cu 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{43±35}{104} atunci când ± este plus. Adunați 43 cu 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Reduceți fracția \frac{78}{104} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{43±35}{104} atunci când ± este minus. Scădeți 35 din 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Reduceți fracția \frac{8}{104} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{4} și x_{2} cu \frac{1}{13}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Scădeți \frac{3}{4} din z găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Scădeți \frac{1}{13} din z găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Înmulțiți \frac{4z-3}{4} cu \frac{13z-1}{13} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Înmulțiți 4 cu 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Simplificați cu 52, cel mai mare factor comun din 52 și 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Evaluați

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$