Rezolvați 50(1-10%)(1+x)^2=668

$$50 ( 1 - 10 \% ) ( 1 + x ) ^ { 2 } = 668$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1\approx 2,852848874$$

$$x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1\approx -4,852848874$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Reduceți fracția \frac{10}{100} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$50\left(1-\frac{1}{10}\right)\left(1+x\right)^{2}=668$$

Scădeți \frac{1}{10} din 1 pentru a obține \frac{9}{10}.

$$50\times \frac{9}{10}\left(1+x\right)^{2}=668$$

Înmulțiți 50 cu \frac{9}{10} pentru a obține 45.

$$45\left(1+x\right)^{2}=668$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$45\left(1+2x+x^{2}\right)=668$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 45 cu 1+2x+x^{2}.

$$45+90x+45x^{2}=668$$

Scădeți 668 din ambele părți.

$$45+90x+45x^{2}-668=0$$

Scădeți 668 din 45 pentru a obține -623.

$$-623+90x+45x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$45x^{2}+90x-623=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 45, b cu 90 și c cu -623 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 45\left(-623\right)}}{2\times 45}$$

Ridicați 90 la pătrat.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 45\left(-623\right)}}{2\times 45}$$

Înmulțiți -4 cu 45.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-180\left(-623\right)}}{2\times 45}$$

Înmulțiți -180 cu -623.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+112140}}{2\times 45}$$

Adunați 8100 cu 112140.

$$x=\frac{-90±\sqrt{120240}}{2\times 45}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 120240.

$$x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{2\times 45}$$

Înmulțiți 2 cu 45.

$$x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{90}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{90} atunci când ± este plus. Adunați -90 cu 12\sqrt{835}.

$$x=\frac{12\sqrt{835}-90}{90}$$

Împărțiți -90+12\sqrt{835} la 90.

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-90±12\sqrt{835}}{90} atunci când ± este minus. Scădeți 12\sqrt{835} din -90.

$$x=\frac{-12\sqrt{835}-90}{90}$$

Împărțiți -90-12\sqrt{835} la 90.

$$x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1 x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Reduceți fracția \frac{10}{100} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$50\left(1-\frac{1}{10}\right)\left(1+x\right)^{2}=668$$

Scădeți \frac{1}{10} din 1 pentru a obține \frac{9}{10}.

$$50\times \frac{9}{10}\left(1+x\right)^{2}=668$$

Înmulțiți 50 cu \frac{9}{10} pentru a obține 45.

$$45\left(1+x\right)^{2}=668$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$45\left(1+2x+x^{2}\right)=668$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 45 cu 1+2x+x^{2}.

$$45+90x+45x^{2}=668$$

Scădeți 45 din ambele părți.

$$90x+45x^{2}=668-45$$

Scădeți 45 din 668 pentru a obține 623.

$$90x+45x^{2}=623$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$45x^{2}+90x=623$$

Se împart ambele părți la 45.

$$\frac{45x^{2}+90x}{45}=\frac{623}{45}$$

Împărțirea la 45 anulează înmulțirea cu 45.

$$x^{2}+\frac{90}{45}x=\frac{623}{45}$$

Împărțiți 90 la 45.

$$x^{2}+2x=\frac{623}{45}$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{623}{45}+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=\frac{623}{45}+1$$

Adunați \frac{623}{45} cu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{668}{45}$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{668}{45}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{668}{45}}$$

Simplificați.

$$x+1=\frac{2\sqrt{835}}{15} x+1=-\frac{2\sqrt{835}}{15}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{835}}{15}-1 x=-\frac{2\sqrt{835}}{15}-1$$