Rezolvați 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Scăderea 12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Scădeți 12 din 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Împărțiți -3+i\sqrt{19} la -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{19} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Împărțiți -3-i\sqrt{19} la -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Scădeți 5 din 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Împărțiți 7 la -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Adunați -7 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$