Rezolvați 5z^2+30z+40

$$5 z ^ { 2 } + 30 z + 40$$

Descompunere în factori

$$5\left(z+2\right)\left(z+4\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 5.

$$5\left(z^{2}+6z+8\right)$$

Să luăm z^{2}+6z+8. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca z^{2}+az+bz+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$1,8 2,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+8=9 2+4=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 6.

$$a=2 b=4$$

Rescrieți z^{2}+6z+8 ca \left(z^{2}+2z\right)+\left(4z+8\right).

$$\left(z^{2}+2z\right)+\left(4z+8\right)$$

Factor z în primul și 4 în al doilea grup.

$$z\left(z+2\right)+4\left(z+2\right)$$

Scoateți termenul comun z+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(z+2\right)\left(z+4\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$5\left(z+2\right)\left(z+4\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5z^{2}+30z+40=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 5\times 40}}{2\times 5}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$z=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 5\times 40}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$z=\frac{-30±\sqrt{900-20\times 40}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 40.

$$z=\frac{-30±\sqrt{900-800}}{2\times 5}$$

Adunați 900 cu -800.

$$z=\frac{-30±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$z=\frac{-30±10}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$z=\frac{-30±10}{10}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-30±10}{10} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 10.

$$z=-\frac{20}{10}$$

Împărțiți -20 la 10.

$$z=-2$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-30±10}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -30.

$$z=-\frac{40}{10}$$

Împărțiți -40 la 10.

$$z=-4$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -2 și x_{2} cu -4.

$$5z^{2}+30z+40=5\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-4\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$5z^{2}+30z+40=5\left(z+2\right)\left(z+4\right)$$

Evaluați

$$5\left(z+2\right)\left(z+4\right)$$