Rezolvați 5y^2+9y-14

$$5 y ^ { 2 } + 9 y - 14$$

Descompunere în factori

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 5y^{2}+ay+by-14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=5\left(-14\right)=-70$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -70.

$$-1,70 -2,35 -5,14 -7,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+70=69 -2+35=33 -5+14=9 -7+10=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=-5 b=14$$

Rescrieți 5y^{2}+9y-14 ca \left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right).

$$\left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right)$$

Factor 5y în primul și 14 în al doilea grup.

$$5y\left(y-1\right)+14\left(y-1\right)$$

Scoateți termenul comun y-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+9y-14=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -14.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81+280}}{2\times 5}$$

Adunați 81 cu 280.

$$y=\frac{-9±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$y=\frac{-9±19}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$y=\frac{-9±19}{10}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-9±19}{10} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 19.

$$y=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$y=1$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-9±19}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din -9.

$$y=-\frac{28}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=-\frac{14}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 1 și x_{2} cu -\frac{14}{5}.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{14}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y+\frac{14}{5}\right)$$

Adunați \frac{14}{5} cu y găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\times \frac{5y+14}{5}$$

Simplificați cu 5, cel mai mare factor comun din 5 și 5.

$$5y^{2}+9y-14=\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Evaluați

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$