Rezolvați 5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0,236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1,449117005$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați 9y^{2} cu -4y^{2} pentru a obține 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6 cu 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 30y+54 cu y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Combinați 5y^{2} cu 30y^{2} pentru a obține 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Combinați 5y cu 54y pentru a obține 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$59y+35y^{2}+12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$35y^{2}+59y+12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 35, b cu 59 și c cu 12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Ridicați 59 la pătrat.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Înmulțiți -4 cu 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

Înmulțiți -140 cu 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

Adunați 3481 cu -1680.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

Înmulțiți 2 cu 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} atunci când ± este plus. Adunați -59 cu \sqrt{1801}.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{1801} din -59.

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați 9y^{2} cu -4y^{2} pentru a obține 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6 cu 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 30y+54 cu y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Combinați 5y^{2} cu 30y^{2} pentru a obține 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Combinați 5y cu 54y pentru a obține 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$35y^{2}+59y=-12$$

Se împart ambele părți la 35.

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

Împărțirea la 35 anulează înmulțirea cu 35.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

Împărțiți \frac{59}{35}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{59}{70}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{59}{70} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{59}{70} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

Adunați -\frac{12}{35} cu \frac{3481}{4900} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

Factor y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

Scădeți \frac{59}{70} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$