Rezolvați 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$5x-2y=1$$

Adunați 2y la ambele părți ale ecuației.

$$5x=2y+1$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{5} cu 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Înlocuiți x cu \frac{2y+1}{5} în cealaltă ecuație, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Înmulțiți 3 cu \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Adunați \frac{6y}{5} cu 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Scădeți \frac{3}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{31}{5}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Înmulțiți \frac{2}{5} cu 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Adunați \frac{1}{5} cu \frac{4}{5} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=2$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=1,y=2$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Pentru a egala 5x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Simplificați.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Scădeți pe 15x+25y=65 din 15x-6y=3 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Adunați 15x cu -15x. Termenii 15x și -15x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-6y-25y=3-65$$

Adunați -6y cu -25y.

$$-31y=3-65$$

Adunați 3 cu -65.

$$-31y=-62$$

Se împart ambele părți la -31.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în 3x+5y=13. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x+5\times 2=13$$

Înmulțiți 5 cu 2.

$$3x+10=13$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$3x=3$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=1,y=2$$