Rezolvați 5x^2-x-48=0

$$5 x ^ { 2 } - x - 48 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-48. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=5\left(-48\right)=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-16 b=15$$

Rescrieți 5x^{2}-x-48 ca \left(5x^{2}-16x\right)+\left(15x-48\right).

$$\left(5x^{2}-16x\right)+\left(15x-48\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(5x-16\right)+3\left(5x-16\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-16 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-16\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-16=0 și x+3=0.

$$x=\frac{16}{5} x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-x-48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -1 și c cu -48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 5}$$

Adunați 1 cu 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 5}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{1±31}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±31}{10} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 31.

$$x=\frac{32}{10}$$

Reduceți fracția \frac{32}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{16}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±31}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 31 din 1.

$$x=-\frac{30}{10}$$

Împărțiți -30 la 10.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{16}{5} x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-48=0$$

Adunați 48 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Scăderea -48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-48\right)$$

Scădeți -48 din 0.

$$5x^{2}-x=48$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{48}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{48}{5}$$

Împărțiți -\frac{1}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{48}{5}+\frac{1}{100}$$

Adunați \frac{48}{5} cu \frac{1}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{961}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{961}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{31}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{31}{10}$$

Adunați \frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{16}{5} x=-3$$