Rezolvați 5x^2-8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -20 de produs.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-10 b=2$$

Rescrieți 5x^{2}-8x-4 ca \left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right)$$

Scoateți scoateți factorul 5x din primul și 2 din cel de-al doilea grup.

$$5x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-2=0 și 5x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -8 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Adunați 64 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 5}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{8±12}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±12}{10} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 12.

$$x=\frac{20}{10}$$

Împărțiți 20 la 10.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±12}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 8.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-8x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$5x^{2}-8x=4$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{4}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Împărțiți -\frac{8}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Adunați \frac{4}{5} cu \frac{16}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Factorul x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Adunați \frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$