Rezolvați 5x^2-8x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-8 ab=5\times 3=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 15 de produs.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți 5x^{2}-8x+3 ca \left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Scoateți scoateți factorul 5x din primul și -3 din cel de-al doilea grup.

$$5x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-1=0 și 5x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -8 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

Adunați 64 cu -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 5}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±2}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{8±2}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±2}{10} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 2.

$$x=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±2}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 8.

$$x=\frac{6}{10}$$

Reduceți fracția \frac{6}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-8x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-8x=-3$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Împărțiți -\frac{8}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

Adunați -\frac{3}{5} cu \frac{16}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

Factorul x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Adunați \frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$