Rezolvați 5x^2-7x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10}\approx 0,7+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}\approx 0,7-0,331662479i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-7x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -7 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\times 3}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 5}$$

Adunați 49 cu -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{11}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{11}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{11} din 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-7x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-7x=-3$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Împărțiți -\frac{7}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Adunați -\frac{3}{5} cu \frac{49}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{11}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Adunați \frac{7}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{10}$$