Rezolvați 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -40 și c cu 85 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Adunați 1600 cu -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Opusul lui -40 este 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±10i}{10} atunci când ± este plus. Adunați 40 cu 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Împărțiți 40+10i la 10.

$$x=4+i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±10i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 10i din 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Împărțiți 40-10i la 10.

$$x=4-i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4+i x=4-i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Scădeți 85 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Scăderea 85 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Împărțiți -40 la 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Împărțiți -85 la 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Adunați -17 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Simplificați.

$$x-4=i x-4=-i$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=4+i x=4-i$$