Rezolvați 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-5 b=2$$

Rescrieți 5x^{2}-3x-2 ca \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

Factor 5x în primul și 2 în al doilea grup.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 5x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -3 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Adunați 9 cu 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±7}{10} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 7.

$$x=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±7}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 3.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Scăderea -2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Scădeți -2 din 0.

$$5x^{2}-3x=2$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Împărțiți -\frac{3}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Adunați \frac{2}{5} cu \frac{9}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Adunați \frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$