Rezolvați 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-3 b=-1$$

Rescrieți x^{2}-4x+3 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Factor x în primul și -1 în al doilea grup.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -20 și c cu 15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Adunați 400 cu -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±10}{10} atunci când ± este plus. Adunați 20 cu 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Împărțiți 30 la 10.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±10}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Împărțiți -20 la 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Împărțiți -15 la 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Adunați -3 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=1$$