Rezolvați 5x^2-20x+12=x^2+7x-6

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 12 = x ^ { 2 } + 7 x - 6$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Combinați 5x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Combinați -20x cu -7x pentru a obține -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$4x^{2}-27x+12+6=0$$

Adunați 12 și 6 pentru a obține 18.

$$4x^{2}-27x+18=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+18. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-27 ab=4\times 18=72$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Soluția este perechea care dă suma de -27.

$$a=-24 b=-3$$

Rescrieți 4x^{2}-27x+18 ca \left(4x^{2}-24x\right)+\left(-3x+18\right).

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(-3x+18\right)$$

Factor 4x în primul și -3 în al doilea grup.

$$4x\left(x-6\right)-3\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(4x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și 4x-3=0.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Combinați 5x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Combinați -20x cu -7x pentru a obține -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$4x^{2}-27x+12+6=0$$

Adunați 12 și 6 pentru a obține 18.

$$4x^{2}-27x+18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -27 și c cu 18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Ridicați -27 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-16\times 18}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 4}$$

Adunați 729 cu -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 4}$$

Opusul lui -27 este 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{27±21}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{27±21}{8} atunci când ± este plus. Adunați 27 cu 21.

$$x=\frac{48}{8}$$

Împărțiți 48 la 8.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{27±21}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 21 din 27.

$$x=\frac{6}{8}$$

Reduceți fracția \frac{6}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Combinați 5x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Combinați -20x cu -7x pentru a obține -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$4x^{2}-27x=-6-12$$

Scădeți 12 din -6 pentru a obține -18.

$$4x^{2}-27x=-18$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-27x}{4}=-\frac{18}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x=-\frac{18}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x=-\frac{9}{2}$$

Împărțiți -\frac{27}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{27}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{27}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\left(-\frac{27}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{27}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{27}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=-\frac{9}{2}+\frac{729}{64}$$

Adunați -\frac{9}{2} cu \frac{729}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=\frac{441}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{27}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{27}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{27}{8}=\frac{21}{8} x-\frac{27}{8}=-\frac{21}{8}$$

Adunați \frac{27}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$