Rezolvați 5x^2-14x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 14 x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{34} + 7}{5} \approx 2,566190379$$

$$x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}\approx 0,233809621$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-14x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -14 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\times 3}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60}}{2\times 5}$$

Adunați 196 cu -60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{136}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 136.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{34}}{2\times 5}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{34}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2\sqrt{34}.

$$x=\frac{2\sqrt{34}+14}{10}$$

Împărțiți 14+2\sqrt{34} la 10.

$$x=\frac{\sqrt{34}+7}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{34}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{34} din 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{34}}{10}$$

Împărțiți 14-2\sqrt{34} la 10.

$$x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{34}+7}{5} x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-14x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-14x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-14x=-3$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-14x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Împărțiți -\frac{14}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{25}$$

Adunați -\frac{3}{5} cu \frac{49}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{34}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{34}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{34}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{5}=\frac{\sqrt{34}}{5} x-\frac{7}{5}=-\frac{\sqrt{34}}{5}$$

Adunați \frac{7}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{34}+7}{5} x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}$$