Rezolvați 5x^2+x-7=0

$$5 x ^ { 2 } + x - 7 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{141} - 1}{10} \approx 1,087434209$$

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}\approx -1,287434209$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 1 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+140}}{2\times 5}$$

Adunați 1 cu 140.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{141} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+x=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$5x^{2}+x=7$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{7}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{7}{5}$$

Împărțiți \frac{1}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Adunați \frac{7}{5} cu \frac{1}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{141}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Scădeți \frac{1}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$