Rezolvați 5x^2+x+1=5

$$5 x ^ { 2 } + x + 1 = 5$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 5 din ambele părți.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Scădeți 5 din 1 pentru a obține -4.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-4 b=5$$

Rescrieți 5x^{2}+x-4 ca \left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

Scoateți factorul comun x din 5x^{2}-4x.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

Scoateți termenul comun 5x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-4=0 și x+1=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+x+1-5=5-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Scădeți 5 din 1.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 1 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Adunați 1 cu 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±9}{10} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 9.

$$x=\frac{8}{10}$$

Reduceți fracția \frac{8}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±9}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -1.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Împărțiți -10 la 10.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+x+1-1=5-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+x=5-1$$

Scădeți 1 din 5.

$$5x^{2}+x=4$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

Împărțiți \frac{1}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Adunați \frac{4}{5} cu \frac{1}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Scădeți \frac{1}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$