Rezolvați 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=-1 b=15$$

Rescrieți x^{2}+14x-15 ca \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Factor x în primul și 15 în al doilea grup.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 70 și c cu -75 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 70 la pătrat.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Adunați 4900 cu 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-70±80}{10} atunci când ± este plus. Adunați -70 cu 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-70±80}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 80 din -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Împărțiți -150 la 10.

$$x=-15$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-15$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Adunați 75 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Scăderea -75 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Scădeți -75 din 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Împărțiți 70 la 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Împărțiți 75 la 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Împărțiți 14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 7. Apoi, adunați pătratul lui 7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Adunați 15 cu 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Factor x^{2}+14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Simplificați.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-15$$