Rezolvați 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 6 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Adunați 36 cu -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Împărțiți -6+2i\sqrt{41} la 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{41} din -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Împărțiți -6-2i\sqrt{41} la 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Împărțiți -10 la 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Împărțiți \frac{6}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Adunați -2 cu \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Scădeți \frac{3}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$