Rezolvați 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 3 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Adunați 9 cu -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{11} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Împărțiți \frac{3}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Adunați -\frac{1}{5} cu \frac{9}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Scădeți \frac{3}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$