Rezolvați 5x^2+25x-10=0

$$5 x ^ { 2 } + 25 x - 10 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}\approx 0,372281323$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}\approx -5,372281323$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 25 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 25 la pătrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -10.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+200}}{2\times 5}$$

Adunați 625 cu 200.

$$x=\frac{-25±\sqrt{825}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 825.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} atunci când ± este plus. Adunați -25 cu 5\sqrt{33}.

$$x=\frac{5\sqrt{33}-25}{10}$$

Împărțiți -25+5\sqrt{33} la 10.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 5\sqrt{33} din -25.

$$x=\frac{-5\sqrt{33}-25}{10}$$

Împărțiți -25-5\sqrt{33} la 10.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+25x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Scăderea -10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+25x=-\left(-10\right)$$

Scădeți -10 din 0.

$$5x^{2}+25x=10$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+25x}{5}=\frac{10}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{25}{5}x=\frac{10}{5}$$

Împărțiți 25 la 5.

$$x^{2}+5x=\frac{10}{5}$$

Împărțiți 10 la 5.

$$x^{2}+5x=2$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=2+\frac{25}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{33}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$