Rezolvați 5x^2+21x=-10x-6

$$5 x ^ { 2 } + 21 x = - 10 x - 6$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 10x la ambele părți.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Combinați 21x cu 10x pentru a obține 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=31 ab=5\times 6=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 31.

$$a=1 b=30$$

Rescrieți 5x^{2}+31x+6 ca \left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(5x+1\right)+6\left(5x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 5x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+1\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x+1=0 și x+6=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Adăugați 10x la ambele părți.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Combinați 21x cu 10x pentru a obține 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 31 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Ridicați 31 la pătrat.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-20\times 6}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 6.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-120}}{2\times 5}$$

Adunați 961 cu -120.

$$x=\frac{-31±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 841.

$$x=\frac{-31±29}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-31±29}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-31±29}{10} atunci când ± este plus. Adunați -31 cu 29.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-31±29}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 29 din -31.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Împărțiți -60 la 10.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Adăugați 10x la ambele părți.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Combinați 21x cu 10x pentru a obține 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+31x}{5}=-\frac{6}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x=-\frac{6}{5}$$

Împărțiți \frac{31}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{31}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{31}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{31}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{961}{100}$$

Adunați -\frac{6}{5} cu \frac{961}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=\frac{841}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}=\frac{841}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{100}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{31}{10}=\frac{29}{10} x+\frac{31}{10}=-\frac{29}{10}$$

Scădeți \frac{31}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$