Rezolvați 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 21.

$$a=1 b=20$$

Rescrieți 5x^{2}+21x+4 ca \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 5x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x+1=0 și x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 21 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Ridicați 21 la pătrat.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Adunați 441 cu -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-21±19}{10} atunci când ± este plus. Adunați -21 cu 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-21±19}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Împărțiți -40 la 10.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Împărțiți \frac{21}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{21}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{21}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{21}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Adunați -\frac{4}{5} cu \frac{441}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Scădeți \frac{21}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$