Rezolvați 5x^2+18x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 18 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}\approx -0,056440423$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}\approx -3,543559577$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 18 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 5}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-20}}{2\times 5}$$

Adunați 324 cu -20.

$$x=\frac{-18±\sqrt{304}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 304.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 4\sqrt{19}.

$$x=\frac{4\sqrt{19}-18}{10}$$

Împărțiți -18+4\sqrt{19} la 10.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{19} din -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}-18}{10}$$

Împărțiți -18-4\sqrt{19} la 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+18x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+18x=-1$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+18x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Împărțiți \frac{18}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{81}{25}$$

Adunați -\frac{1}{5} cu \frac{81}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{76}{25}$$

Factorul x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{76}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{9}{5}=\frac{2\sqrt{19}}{5} x+\frac{9}{5}=-\frac{2\sqrt{19}}{5}$$

Scădeți \frac{9}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$