Rezolvați 5x^2+10x=75

$$5 x ^ { 2 } + 10 x = 75$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 75 din ambele părți.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-3 b=5$$

Rescrieți x^{2}+2x-15 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+10x=75$$

Scădeți 75 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+10x-75=75-75$$

Scăderea 75 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 10 și c cu -75 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Adunați 100 cu 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±40}{10} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Împărțiți 30 la 10.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±40}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Împărțiți -50 la 10.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x=75$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Împărțiți 10 la 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Împărțiți 75 la 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Adunați 15 cu 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-5$$