Rezolvați 5w^2+13w=-6

$$5 w ^ { 2 } + 13 w = - 6$$

Rezolvați pentru w

$$w=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$w=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 6 la ambele părți.

$$5w^{2}+13w+6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5w^{2}+aw+bw+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=5\times 6=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=3 b=10$$

Rescrieți 5w^{2}+13w+6 ca \left(5w^{2}+3w\right)+\left(10w+6\right).

$$\left(5w^{2}+3w\right)+\left(10w+6\right)$$

Factor w în primul și 2 în al doilea grup.

$$w\left(5w+3\right)+2\left(5w+3\right)$$

Scoateți termenul comun 5w+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5w+3\right)\left(w+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5w+3=0 și w+2=0.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5w^{2}+13w=-6$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$5w^{2}+13w-\left(-6\right)=-6-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5w^{2}+13w-\left(-6\right)=0$$

Scădeți -6 din 0.

$$5w^{2}+13w+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 13 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-20\times 6}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 6.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\times 5}$$

Adunați 169 cu -120.

$$w=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$w=\frac{-13±7}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$w=\frac{-13±7}{10}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{-13±7}{10} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 7.

$$w=-\frac{6}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$w=-\frac{3}{5}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{-13±7}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -13.

$$w=-\frac{20}{10}$$

Împărțiți -20 la 10.

$$w=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5w^{2}+13w=-6$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5w^{2}+13w}{5}=-\frac{6}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w=-\frac{6}{5}$$

Împărțiți \frac{13}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\left(\frac{13}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{13}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{169}{100}$$

Adunați -\frac{6}{5} cu \frac{169}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}=\frac{49}{100}$$

Factor w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{13}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(w+\frac{13}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Simplificați.

$$w+\frac{13}{10}=\frac{7}{10} w+\frac{13}{10}=-\frac{7}{10}$$

Scădeți \frac{13}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$