Rezolvați 5v^2+45v+70

$$5 v ^ { 2 } + 45 v + 70$$

Descompunere în factori

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 5.

$$5\left(v^{2}+9v+14\right)$$

Să luăm v^{2}+9v+14. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca v^{2}+av+bv+14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=1\times 14=14$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 14.

$$1,14 2,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+14=15 2+7=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=2 b=7$$

Rescrieți v^{2}+9v+14 ca \left(v^{2}+2v\right)+\left(7v+14\right).

$$\left(v^{2}+2v\right)+\left(7v+14\right)$$

Factor v în primul și 7 în al doilea grup.

$$v\left(v+2\right)+7\left(v+2\right)$$

Scoateți termenul comun v+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5v^{2}+45v+70=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$v=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

Ridicați 45 la pătrat.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-20\times 70}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 70.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-1400}}{2\times 5}$$

Adunați 2025 cu -1400.

$$v=\frac{-45±\sqrt{625}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 625.

$$v=\frac{-45±25}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$v=\frac{-45±25}{10}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-45±25}{10} atunci când ± este plus. Adunați -45 cu 25.

$$v=-\frac{20}{10}$$

Împărțiți -20 la 10.

$$v=-2$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-45±25}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 25 din -45.

$$v=-\frac{70}{10}$$

Împărțiți -70 la 10.

$$v=-7$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -2 și x_{2} cu -7.

$$5v^{2}+45v+70=5\left(v-\left(-2\right)\right)\left(v-\left(-7\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$5v^{2}+45v+70=5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Evaluați

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$