Rezolvați 5p^2-48p-20

$$5 p ^ { 2 } - 48 p - 20$$

Descompunere în factori

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 5p^{2}+ap+bp-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-48 ab=5\left(-20\right)=-100$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -100.

$$1,-100 2,-50 4,-25 5,-20 10,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-100=-99 2-50=-48 4-25=-21 5-20=-15 10-10=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -48.

$$a=-50 b=2$$

Rescrieți 5p^{2}-48p-20 ca \left(5p^{2}-50p\right)+\left(2p-20\right).

$$\left(5p^{2}-50p\right)+\left(2p-20\right)$$

Factor 5p în primul și 2 în al doilea grup.

$$5p\left(p-10\right)+2\left(p-10\right)$$

Scoateți termenul comun p-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5p^{2}-48p-20=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -48 la pătrat.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -20.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+400}}{2\times 5}$$

Adunați 2304 cu 400.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2704}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2704.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±52}{2\times 5}$$

Opusul lui -48 este 48.

$$p=\frac{48±52}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$p=\frac{48±52}{10}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{48±52}{10} atunci când ± este plus. Adunați 48 cu 52.

$$p=\frac{100}{10}$$

Împărțiți 100 la 10.

$$p=10$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{48±52}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 52 din 48.

$$p=-\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 10 și x_{2} cu -\frac{2}{5}.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\left(p+\frac{2}{5}\right)$$

Adunați \frac{2}{5} cu p găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\times \frac{5p+2}{5}$$

Simplificați cu 5, cel mai mare factor comun din 5 și 5.

$$5p^{2}-48p-20=\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

Evaluați

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$