Rezolvați 5p^2-24p-5

$$5 p ^ { 2 } - 24 p - 5$$

Descompunere în factori

$$\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 5p^{2}+ap+bp-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=5\left(-5\right)=-25$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -25.

$$1,-25 5,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-25=-24 5-5=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-25 b=1$$

Rescrieți 5p^{2}-24p-5 ca \left(5p^{2}-25p\right)+\left(p-5\right).

$$\left(5p^{2}-25p\right)+\left(p-5\right)$$

Scoateți factorul comun 5p din 5p^{2}-25p.

$$5p\left(p-5\right)+p-5$$

Scoateți termenul comun p-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5p^{2}-24p-5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -5.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+100}}{2\times 5}$$

Adunați 576 cu 100.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{676}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±26}{2\times 5}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$p=\frac{24±26}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$p=\frac{24±26}{10}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{24±26}{10} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 26.

$$p=\frac{50}{10}$$

Împărțiți 50 la 10.

$$p=5$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{24±26}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din 24.

$$p=-\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$p=-\frac{1}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 5 și x_{2} cu -\frac{1}{5}.

$$5p^{2}-24p-5=5\left(p-5\right)\left(p-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$5p^{2}-24p-5=5\left(p-5\right)\left(p+\frac{1}{5}\right)$$

Adunați \frac{1}{5} cu p găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$5p^{2}-24p-5=5\left(p-5\right)\times \frac{5p+1}{5}$$

Simplificați cu 5, cel mai mare factor comun din 5 și 5.

$$5p^{2}-24p-5=\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$

Evaluați

$$\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$