Rezolvați 5m^2-14m-15=0

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

Rezolvați pentru m

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3,627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0,827105745$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -14 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -15.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

Adunați 196 cu 300.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 496.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 4\sqrt{31}.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

Împărțiți 14+4\sqrt{31} la 10.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

Acum rezolvați ecuația m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{31} din 14.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

Împărțiți 14-4\sqrt{31} la 10.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

Scădeți -15 din 0.

$$5m^{2}-14m=15$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

Împărțiți 15 la 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

Împărțiți -\frac{14}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

Adunați 3 cu \frac{49}{25}.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

Factor m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

Simplificați.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

Adunați \frac{7}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$