Rezolvați 5j^2+34j-7=0

$$5 j ^ { 2 } + 34 j - 7 = 0$$

Rezolvați pentru j

$$j=-7$$

$$j=\frac{1}{5}=0,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5j^{2}+aj+bj-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=34 ab=5\left(-7\right)=-35$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -35.

$$-1,35 -5,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+35=34 -5+7=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 34.

$$a=-1 b=35$$

Rescrieți 5j^{2}+34j-7 ca \left(5j^{2}-j\right)+\left(35j-7\right).

$$\left(5j^{2}-j\right)+\left(35j-7\right)$$

Factor j în primul și 7 în al doilea grup.

$$j\left(5j-1\right)+7\left(5j-1\right)$$

Scoateți termenul comun 5j-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5j-1\right)\left(j+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5j-1=0 și j+7=0.

$$j=\frac{1}{5} j=-7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5j^{2}+34j-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 34 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$j=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 34 la pătrat.

$$j=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$j=\frac{-34±\sqrt{1156-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -7.

$$j=\frac{-34±\sqrt{1156+140}}{2\times 5}$$

Adunați 1156 cu 140.

$$j=\frac{-34±\sqrt{1296}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1296.

$$j=\frac{-34±36}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$j=\frac{-34±36}{10}$$

Acum rezolvați ecuația j=\frac{-34±36}{10} atunci când ± este plus. Adunați -34 cu 36.

$$j=\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{2}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$j=\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația j=\frac{-34±36}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 36 din -34.

$$j=-\frac{70}{10}$$

Împărțiți -70 la 10.

$$j=-7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$j=\frac{1}{5} j=-7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5j^{2}+34j-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$5j^{2}+34j-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5j^{2}+34j=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$5j^{2}+34j=7$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5j^{2}+34j}{5}=\frac{7}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$j^{2}+\frac{34}{5}j=\frac{7}{5}$$

Împărțiți \frac{34}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{17}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{17}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$j^{2}+\frac{34}{5}j+\left(\frac{17}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(\frac{17}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{17}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$j^{2}+\frac{34}{5}j+\frac{289}{25}=\frac{7}{5}+\frac{289}{25}$$

Adunați \frac{7}{5} cu \frac{289}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$j^{2}+\frac{34}{5}j+\frac{289}{25}=\frac{324}{25}$$

Factor j^{2}+\frac{34}{5}j+\frac{289}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(j+\frac{17}{5}\right)^{2}=\frac{324}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(j+\frac{17}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{324}{25}}$$

Simplificați.

$$j+\frac{17}{5}=\frac{18}{5} j+\frac{17}{5}=-\frac{18}{5}$$

Scădeți \frac{17}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$j=\frac{1}{5} j=-7$$