Rezolvați 5f^2-40f+75

$$5 f ^ { 2 } - 40 f + 75$$

Descompunere în factori

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 5.

$$5\left(f^{2}-8f+15\right)$$

Să luăm f^{2}-8f+15. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca f^{2}+af+bf+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți f^{2}-8f+15 ca \left(f^{2}-5f\right)+\left(-3f+15\right).

$$\left(f^{2}-5f\right)+\left(-3f+15\right)$$

Factor f în primul și -3 în al doilea grup.

$$f\left(f-5\right)-3\left(f-5\right)$$

Scoateți termenul comun f-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5f^{2}-40f+75=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 75}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 75.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1500}}{2\times 5}$$

Adunați 1600 cu -1500.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±10}{2\times 5}$$

Opusul lui -40 este 40.

$$f=\frac{40±10}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$f=\frac{40±10}{10}$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{40±10}{10} atunci când ± este plus. Adunați 40 cu 10.

$$f=\frac{50}{10}$$

Împărțiți 50 la 10.

$$f=5$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{40±10}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 40.

$$f=\frac{30}{10}$$

Împărțiți 30 la 10.

$$f=3$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 5 și x_{2} cu 3.

$$5f^{2}-40f+75=5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Evaluați

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$