Rezolvați 5(t)=7t^2+t^2-4

$$5 ( t ) = 7 t ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 4$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{3 \sqrt{17} + 5}{16} \approx 1,085582305$$

$$t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16}\approx -0,460582305$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați 7t^{2} cu t^{2} pentru a obține 8t^{2}.

$$5t=8t^{2}-4$$

Scădeți 8t^{2} din ambele părți.

$$5t-8t^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$5t-8t^{2}+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8t^{2}+5t+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 5 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-8\right)\times 4}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-8\right)\times 4}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+32\times 4}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu 4.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+128}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 25 cu 128.

$$t=\frac{-5±\sqrt{153}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 153.

$$t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 3\sqrt{17}.

$$t=\frac{3\sqrt{17}-5}{-16}$$

Împărțiți -5+3\sqrt{17} la -16.

$$t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±3\sqrt{17}}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{17} din -5.

$$t=\frac{-3\sqrt{17}-5}{-16}$$

Împărțiți -5-3\sqrt{17} la -16.

$$t=\frac{3\sqrt{17}+5}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16} t=\frac{3\sqrt{17}+5}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați 7t^{2} cu t^{2} pentru a obține 8t^{2}.

$$5t=8t^{2}-4$$

Scădeți 8t^{2} din ambele părți.

$$5t-8t^{2}=-4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8t^{2}+5t=-4$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8t^{2}+5t}{-8}=-\frac{4}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$t^{2}+\frac{5}{-8}t=-\frac{4}{-8}$$

Împărțiți 5 la -8.

$$t^{2}-\frac{5}{8}t=-\frac{4}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$t^{2}-\frac{5}{8}t=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{5}{8}t+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{5}{8}t+\frac{25}{256}=\frac{1}{2}+\frac{25}{256}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{25}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{5}{8}t+\frac{25}{256}=\frac{153}{256}$$

Factor t^{2}-\frac{5}{8}t+\frac{25}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{153}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{256}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{5}{16}=\frac{3\sqrt{17}}{16} t-\frac{5}{16}=-\frac{3\sqrt{17}}{16}$$

Adunați \frac{5}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{3\sqrt{17}+5}{16} t=\frac{5-3\sqrt{17}}{16}$$