Rezolvați 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -90 și c cu 54 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Ridicați -90 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Adunați 8100 cu -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Opusul lui -90 este 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 90 cu 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Împărțiți 90+6\sqrt{195} la 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{195} din 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Împărțiți 90-6\sqrt{195} la 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Scădeți 54 din ambele părți ale ecuației.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Scăderea 54 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Împărțiți -90 la 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Împărțiți -18, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -9. Apoi, adunați pătratul lui -9 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Adunați -\frac{54}{5} cu 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Factor y^{2}-18y+81. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Simplificați.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$