Rezolvați 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-2184. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-105 b=104$$

Rescrieți 5x^{2}-x-2184 ca \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Factor 5x în primul și 104 în al doilea grup.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Scoateți termenul comun x-21 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-21=0 și 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -1 și c cu -2184 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Adunați 1 cu 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±209}{10} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Împărțiți 210 la 10.

$$x=21$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±209}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 209 din 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-208}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Adunați 2184 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Scăderea -2184 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Scădeți -2184 din 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Împărțiți -\frac{1}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Adunați \frac{2184}{5} cu \frac{1}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Adunați \frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$