Rezolvați 5x^2-6x-8=0

$$5 { x }^{ 2 } -6x-8=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=5\left(-8\right)=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -6.

$$a=-10 b=4$$

Rescrieți 5x^{2}-6x-8 ca \left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right)$$

Factor 5x în primul și 4 în al doilea grup.

$$5x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(5x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și 5x+4=0.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -6 și c cu -8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+160}}{2\times 5}$$

Adunați 36 cu 160.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{196}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±14}{2\times 5}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±14}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{6±14}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±14}{10} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 14.

$$x=\frac{20}{10}$$

Împărțiți 20 la 10.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±14}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 6.

$$x=-\frac{8}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-6x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Scăderea -8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-6x=-\left(-8\right)$$

Scădeți -8 din 0.

$$5x^{2}-6x=8$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-6x}{5}=\frac{8}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=\frac{8}{5}$$

Împărțiți -\frac{6}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{8}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{8}{5}+\frac{9}{25}$$

Adunați \frac{8}{5} cu \frac{9}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{49}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{7}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$$

Adunați \frac{3}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$