Rezolvați 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0,4+1,356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0,4-1,356465997i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -4 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

Adunați 16 cu -200.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -184.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2i\sqrt{46}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

Împărțiți 4+2i\sqrt{46} la 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{46} din 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

Împărțiți 4-2i\sqrt{46} la 10.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-4x=-10$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Împărțiți -10 la 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

Împărțiți -\frac{4}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

Adunați -2 cu \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

Adunați \frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$