Rezolvați 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9,163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0,436515154$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -48 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Ridicați -48 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Adunați 2304 cu -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1904.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Opusul lui -48 este 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 48 cu 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

Împărțiți 48+4\sqrt{119} la 10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{119} din 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

Împărțiți 48-4\sqrt{119} la 10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Împărțiți -20 la 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Împărțiți -\frac{48}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{24}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{24}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{24}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Adunați -4 cu \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Adunați \frac{24}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$