Rezolvați 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Descompunere în factori

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+42. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Soluția este perechea care dă suma de -41.

$$a=-35 b=-6$$

Rescrieți 5x^{2}-41x+42 ca \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Factor 5x în primul și -6 în al doilea grup.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Ridicați -41 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Adunați 1681 cu -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

Opusul lui -41 este 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{41±29}{10} atunci când ± este plus. Adunați 41 cu 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Împărțiți 70 la 10.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{41±29}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 29 din 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Reduceți fracția \frac{12}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 7 și x_{2} cu \frac{6}{5}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Scădeți \frac{6}{5} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Simplificați cu 5, cel mai mare factor comun din 5 și 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Evaluați

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$