Rezolvați 5x^2-3x=9

$$5 { x }^{ 2 } -3x = 9$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{21} + 3}{10} \approx 1,674772708$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}\approx -1,074772708$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-3x=9$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-3x-9=9-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -3 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+180}}{2\times 5}$$

Adunați 9 cu 180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{189}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 189.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{21} din 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x=9$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{9}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{9}{5}$$

Împărțiți -\frac{3}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{9}{5}+\frac{9}{100}$$

Adunați \frac{9}{5} cu \frac{9}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{189}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{189}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{189}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{3\sqrt{21}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{3\sqrt{21}}{10}$$

Adunați \frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$