Rezolvați 5x^2-32x=48

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-32x=48$$

Scădeți 48 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Scăderea 48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -32 și c cu -48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -32 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Adunați 1024 cu 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Opusul lui -32 este 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 32 cu 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

Împărțiți 32+8\sqrt{31} la 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{31} din 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

Împărțiți 32-8\sqrt{31} la 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-32x=48$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Împărțiți -\frac{32}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{16}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{16}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{16}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

Adunați \frac{48}{5} cu \frac{256}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Adunați \frac{16}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$