Rezolvați 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -2 și c cu 15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Adunați 4 cu -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -296.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Împărțiți 2+2i\sqrt{74} la 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{74} din 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Împărțiți 2-2i\sqrt{74} la 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Împărțiți -15 la 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Împărțiți -\frac{2}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Adunați -3 cu \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Adunați \frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$