Rezolvați 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-42. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -29.

$$a=-35 b=6$$

Rescrieți 5x^{2}-29x-42 ca \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Factor 5x în primul și 6 în al doilea grup.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -29 și c cu -42 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -29 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Adunați 841 cu 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Opusul lui -29 este 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{29±41}{10} atunci când ± este plus. Adunați 29 cu 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Împărțiți 70 la 10.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{29±41}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 41 din 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Adunați 42 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Scăderea -42 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Scădeți -42 din 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Împărțiți -\frac{29}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{29}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{29}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{29}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Adunați \frac{42}{5} cu \frac{841}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Adunați \frac{29}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$