Rezolvați 5x^2-25x-12=0

$$5 { x }^{ 2 } -25x-12=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx 5,441088234$$

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx -0,441088234$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -25 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -25 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+240}}{2\times 5}$$

Adunați 625 cu 240.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Opusul lui -25 este 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 25 cu \sqrt{865}.

$$x=\frac{\sqrt{865}+25}{10}$$

Împărțiți 25+\sqrt{865} la 10.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{865} din 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{865}}{10}$$

Împărțiți 25-\sqrt{865} la 10.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-25x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-25x=-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 0.

$$5x^{2}-25x=12$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-25x}{5}=\frac{12}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{25}{5}\right)x=\frac{12}{5}$$

Împărțiți -25 la 5.

$$x^{2}-5x=\frac{12}{5}$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{12}{5}+\frac{25}{4}$$

Adunați \frac{12}{5} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{173}{20}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{173}{20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173}{20}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{865}}{10} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{865}}{10}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$