Rezolvați 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-3 b=1$$

Rescrieți x^{2}-2x-3 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -10 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Adunați 100 cu 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±20}{10} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Împărțiți 30 la 10.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±20}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Împărțiți -10 la 10.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Scădeți -15 din 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Împărțiți -10 la 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Împărțiți 15 la 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Adunați 3 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-1$$