Rezolvați 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 5 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Adunați 25 cu -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Împărțiți -5+i\sqrt{155} la 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{155} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Împărțiți -5-i\sqrt{155} la 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Împărțiți 5 la 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Adunați -\frac{9}{5} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$