Rezolvați 5x^2+32x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 32 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Ridicați 32 la pătrat.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

Adunați 1024 cu -200.

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 824.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} atunci când ± este plus. Adunați -32 cu 2\sqrt{206}.

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

Împărțiți -32+2\sqrt{206} la 10.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{206} din -32.

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

Împărțiți -32-2\sqrt{206} la 10.

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+32x=-10$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Împărțiți -10 la 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

Împărțiți \frac{32}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{16}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{16}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{16}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

Adunați -2 cu \frac{256}{25}.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

Factorul x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

Scădeți \frac{16}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$