Rezolvați 5x^2+26x-24=0

$$5 { x }^{ 2 } +26x-24=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=26 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 26.

$$a=-4 b=30$$

Rescrieți 5x^{2}+26x-24 ca \left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(5x-4\right)+6\left(5x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-4\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-4=0 și x+6=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 26 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 26 la pătrat.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -24.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676+480}}{2\times 5}$$

Adunați 676 cu 480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{1156}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1156.

$$x=\frac{-26±34}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-26±34}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-26±34}{10} atunci când ± este plus. Adunați -26 cu 34.

$$x=\frac{8}{10}$$

Reduceți fracția \frac{8}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-26±34}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 34 din -26.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Împărțiți -60 la 10.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+26x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+26x=-\left(-24\right)$$

Scădeți -24 din 0.

$$5x^{2}+26x=24$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+26x}{5}=\frac{24}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x=\frac{24}{5}$$

Împărțiți \frac{26}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{24}{5}+\frac{169}{25}$$

Adunați \frac{24}{5} cu \frac{169}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{289}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{289}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{13}{5}=\frac{17}{5} x+\frac{13}{5}=-\frac{17}{5}$$

Scădeți \frac{13}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$